Matematik ve Dil

                                                         MATEMATİK VE DİL

AHMET DOĞAN

Bir dershanede matematik öğretmeni olarak çalışıyordum. Bir liseden gelen öğrenciler ısrarla “Karmaşık sayıları anlamadık. Özellikle de omega çok karışık” diyerek yardım istediler. “Çocuklar karmaşık sayıları anlatayım. Kolaylıkla anlarsınız ama omega nedir?” dediğimde yanıt, “Omega işte hocam” biçiminde oldu. Bilmiyordum. Diğer matematikçi arkadaşlara “omega”nın ne olduğunu sordum. Onlar da duymamıştı. Çözüm konuyu anlatmaktı. Omega süreç içinde çıkabilirdi. Öyle de oldu. Bir karmaşık sayının karekökünün nasıl alınacağını anlattığım anda bir öğrenci heyecanla, “Hah işte, omega bu!” dedi. O anda anlamıştım ki öğretmen, karmaşık sayının kareköklerini gösteren “W” işaretini kullanıp, “karekökünü bulun” yerine, “omegasını bulun” diyordu. “Dabılü vesini bulun” demediğine şükrettim. Yoktu matematikte böyle bir kavram. Öğretmenin karekök yerine omega sözcüğünü kullanması konunun bütününü anlaşılmaz hale getirmişti. Bu tutum gerek matematiğin bilim içindeki yerini bilmek, gerek matematiğin özel bir dili olduğunu bilmek ve gerekse Türkçeyi kullanmak yönleriyle yanlıştı. Zaten zor olan matematik öğretimi, öğretenin yanlışı nedeniyle daha zor hale getiriliyordu.

Matematik ve Bilim

Bilimin hedefi bilgiye ulaşmaktır. Elbette “bilimsel bilgi”ye. Bilimsel bilgi bilimcilerce iki tür olarak ayrımlandırılır. Olgusal bilgi ve kavramsal bilgi. Araştırma, inceleme, gözlem ve deneye dayanan olgusal bilgi alanları, fen ve sosyal dersleridir. Bu alan olayların ve şeylerin nedenlerini araştırır, gözler, sınar, dener ve sonuçlara ulaşır. Sonuçlar doğrudur ama mutlaklığı yoktur. Yeni araştırmalarla yanlışlanabilir bile. Matematik ve felsefe ise kavramsal bilgi alanlarıdır. Matematiğin laboratuarı insan beynidir. Kavramlardan yola çıkılır ve yeni kavramlara ulaşılır. Kanıtlanmış bu kavramlar matematiksel önermelerdir. Aklın ürünüdür. Kesindir. Olgusal bilimler yaşamdaki olayların, şeylerin nedenleri ile uğraşırken, matematik olguların ve şeylerin niceliksel yanlarıyla uğraşır. Bu bağlamda matematiğin nesneleri de dış dünyanın nesnelerinden farklıdır. Matematik, olguları ve nesneleri dış dünyadan alır, “kusursuz” nesnelere dönüştürür. Onlar artık matematik dünyasının nesneleridir. Kusursuz nesneleri niceliksel özellikleriyle inceler. Varsayımlar oluşturur, varsayımları kanıtlar ve gerçek dünyaya biçimlenmiş olarak geri gönderir.  Gerçek dünyaya biçimlenmiş olarak aktarılan önermeler kesinlik taşır ve aynı zamanda diğer bilimlerin güvenilirlik kaynağıdır. Bu nedenle birçok bilimci matematiği ayrı bir bilim olarak tanımlamaz, “Bilimlerin niceliksel ifadesidir” der.

Bir döngüyle özetlemeye çalıştık matematik bilim ilişkisini ve matematiğin farklı dünyası olduğunu. Sanal bir dünya denilebilir buna. Elbette farklı dünyanın farklı dili olmalıdır. Bu dünya sanal ise dili de ancak sembollere (simgelere) dayanmalıdır. Öyledir de…

Matematiğin Dili

Modern mantık ve matematik çoğunlukla birlikte anılır. Çünkü her ikisi de yöntem olarak sistematik bir akıl yürütmeye dayanır. Her ikisinin de sembollere dayalı bir dili vardır. Örneğin; “p Λ q ≡ 0” yazımı mantık ve matematikte kullanılır. Bir önermedir. Matematik bilmeyenler için bir şey ifade etmez. Bu önermenin okunuşu; “p ve q, denktir 0” biçimindedir. Okunuşunu yazmak da bir şey ifade etmez. Bu önermeyi matematikçi şöyle okur: “p ve q birer önerme olmak üzere p ve q birleşik önermesinin sonucu yanlıştır.” Devamını şöyle getirir: “p ve q önermelerinden en az biri yanlış önermedir.” Neredeyse bir paragraf gibi… Ki bu haliyle bile mantık-matematik bilmeyen için anlamlı hale gelmesi oldukça zor. Açıklamak için daha uzun tümceler kurmak gerekir. Oysa “p Λ q ≡ 0” bir tümcedir. Çetrefilli görünse de günlük dildeki çok uzun bir ifadeyi matematik diliyle bir çırpıda anlatmaktadır. Daha kolay anlaşılır bir örnekle söylersek,  97856 sayısı, rakamları gösteren 9, 7, 8, 5, 6 simgeleri olmasaydı, “doksan yedi bin sekiz yüz elli altı” biçiminde yazılacaktı. Bir de rakamların oluşturduğu,  97856 ile 79281 sayılarını çarptığınızı ve bu işlemi yazı dilinde yaptığınızı düşünün. Bu bir paragrafı da geçer. Öğrenciler sık sık sorar; “Hocam bu rakamları niye uydurmuşlar?”  Hoşnutsuzluk içerse de yerinde bir soru. Çünkü rakamlar uydurulmuştur gerçekten. Gerekli ve işlevsel bir uydurma… Taşa “taş” demek de bir uydurma değil mi?

Rakamları ve yarattığı algıları ele alalım. “2”  doğada yok. “3” de yok. İki elma var, iki masa var, iki çocuk var. Ama ikişer tane olan elmanın, masanın, çocukların niceliksel ortaklığı da var. İşte “2”, bu ortaklığın adı.  Matematikçe söylenirse, “2”, iki elemanlı kümeleri gösteren simge. Doğada olmayan, matematik dünyasında olan bir nesne. Bu nesnelerin matematik dünyasındaki ilişkileri de başka. İki elmayla üç elmanın toplamı beş elmadır deriz. Bir tabağa önce iki, sonra üç elma koyar ve sayarız. Sonra da sayıp beş olduğunu gösteririz. Bir deneydir. Başarılıdır. Gözleyen için ikna edicidir. Matematikteki karşılığı da, “2+3=5” tir. Ama günlük yaşamda, “iki elma ile üç armut … eder” diyemiyoruz. Hatta toplanamaz deriz.  Oysa matematik dünyasında toplanır.  Karşılığı da yine  “2+3=5” biçimindedir. Çünkü 2 ve 3 matematik dünyasında elmadan, armuttan soyutlanmış nesnelerdir. O nedenle “2+3=5” in matematiksel kanıtı da farklıdır. “Gördüğünüz gibi iki elmayla üç elmanın toplamı beş elma ediyor” biçiminde değildir. Ayrıca “2+3=5” işlemi matematik dünyasında her zaman doğru da değildir. Örneğin beşlik sayma sisteminde, “(2)_beş+(3)_beş=(10)_beş biçimine dönüşür. Elbette tüm bunlar, “2, 3, 5, +, =,” gibi kavramlar bilindiğinde anlamlıdır. Yani başka bir dil. Hem de dili konuşursa konuşsun herkesin anlayacağı bir dil. Evrensel…

Şekillerin de matematik dünyasıyla ilişkisine bir örnek verelim. Gerçek dünyada düzgün-yuvarlak birçok nesne vardır. Bu nesneler kendi özelliğine bağlı olarak günlük yaşamda kullanılır. Bu nesnelerin ortak özelliğini tekleştiren matematik, şekli kendi dünyasına alır, yuvarlağın çevresini “çember” diye adlandırır. Onu didiklemeye başlar.  Günlük yaşamda mükemmel olmayan çember, artık mükemmeldir. Ve o çember kâğıda ya da tahtaya çizilen çemberden de farklıdır. Çünkü insan beynindedir.  En iyi çizimde bile pürtükler varken o çemberde pürtükler yoktur.  Bu çember, merkeziye, yarıçapıyla, çevresiyle, sınırladığı alanla incelenir, ilişkilendirilir. Sayısal ilişkileriyle biçimlendirilir. İşlem tamamlanır. Kesin hale gelen önermeler biçiminde gerçek dünyaya geri gönderilir. Elbette bu ilişkilendirmede de, “merkez”, yarıçap”, “pi sayısı”… gibi matematik terimleri ve ortaya koyduğu kavramlar kullanılır.

Daha ileri düzeyde matematik için de, birçok simge, terim, kavram ve bunların ilişkilendirilme biçimi olan önerme, varsayım, kanıt, yargı gibi kavramlar da anlamlı olarak kullanılır. İşte bu nedenle matematiğin dili günlük dilden farklıdır. Matematik yapmak bu dili bilmeyi zorunlu kılar. Öğreten de öğrenen de öncelikle bu dili iyi bilmek zorundadır.

Matematik Öğretiminde Dil

Hangi dersin öğretiminde ya da eğitimin hangi kademesinde olursa olsun Türkçenin doğru kullanılması kaçınılmazdır. Doğru Türkçe kullanmak; sözcük sayısının yeterliliği, sözcükleri doğru ve yerinde kullanmak, doğru cümle kurmak, vurguları doğru yapmak gibi birçok özelliği kapsar. Saydıklarımız öğretenin “ne söylediğinin anlaşılması” yani anlaşılırlık yönüyle önemlidir.

Matematik öğretiminde de bu özelliklere sahip olmak gereklidir. Hatta fazlasıyla. Bu gerekliliği matematiğin bazı özellikleriyle birlikte ele almak daha kavratıcı olacak sanırım. 

1) Matematik soyuttur.

Yukarıda da değindiğimiz gibi, matematik kavramsal bilgi bütünüdür. Kavramlara ve kavramların insan beynin de türetilmesine bağlı olduğu içindir ki soyutlama ön plandadır. Soyut kavramlar ve olgular üzerinde konuşmak için dili iyi kullanmak kaçınılmazdır.  

2. Matematiksel bilgi kanıta dayanır.

Matematiksel bilgiye ulaşma yolu da diğer disiplinlerden farklıdır. “Şekilde görüldüğü gibi”, “deneyin sonucuna göre”, ya da “tarihte yaşandığı gibi” göndermeler matematik bilgiye ulaşma için yeterli değildir. Bilgiye ulaşma yöntemi; “varsayım-kanıt-yargı” biçiminde özetlenebilir. Bu üçlemenin gerçekleşmesi akıl yürütme ve dil ilişkisinin üst boyutta kullanımını gerekli kılar.

Bazı kanıt yöntemlerinde akıl yürütme - dil ilişkisi daha da önem kazanır. “Olmayana ergi” yöntemi gibi…  Bir örnek verelim. “Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir dik doğru çizilir” biçimindeki önerme bir varsayımdır. Kanıtlanması gerekir. Anlatma ve anlaşılır olma kolaylığı yönüyle bir d doğrusu ve dışında bir A noktası alalım. A noktasından d doğrusuna iki farklı dik doğru çizildiğini varsayalım. Dik doğruların d doğrusunu kestiği noktalara B ve C noktaları diyelim. A, B, C noktaları ABC üçgeni oluşturur. Üçgenin B ve C açıları 90’ar derecedir. İki açının toplamı 180⁰ olur ki, A açısı 0⁰ olmak zorundadır. Bu durum ise üçgen olma koşuluna aykırıdır. Sonuçta “AB dikmesinden başka bir dikme çizmek olanaksızdır” yargısına varırız.  Olmayana ergi değişik ve oldukça estetik bir kanıt biçimidir. Gücünü akıl yürütme, ifade edebilme yeteneğinden alır.

3. Matematiksel yargılar kesindir.

Olgusal yargıların “en doğru”  olmasına karşın matematik yargılar “doğru” dur. Yani kesin yargılardır. Kesin olan bu yargıların ifadesinde de net ve yalın olmak gerekir. Öğrenenin anlayışına bırakılamaz. Yetersiz ya da fazla olan anlatımlar yargının kavranışını zayıflatır. Örneğin, “kesişmeyen iki doğru paraleldir” yargısı düzlem için doğru, üç boyutlu uzay için yanlıştır. O nedenle “düzlemde kesişmeyen iki doğru paraleldir” biçiminde yeter ve gerek sayıda sözcükle anlatılmalıdır.  Aynı önermeyi, “iki boyutlu olan düzlemde iki doğru çizildiğinde, bu iki doğru sonsuza dek kesişmiyorsa, yani ortak bir noktası yoksa…”  biçiminde destan gibi anlatmaya  çalışmak  ise gereksiz  bir anlatımdır. Bulanıklık yaratır,  anlamayı zayıflatır, bellekte kalması zordur. Bu nedenle matematik öğreten önermelerde “yeterlilik ve gereklilik” koşuluna uygun davranmalıdır.

4. Matematik çıkarımlara açıktır.

 “Üçgenin iç açıları toplamı 180⁰dir” önermesinin öğrenen için içselleştiğini düşünelim. Ardından da “tüm açıları eşit olan üçgen, eşkenar üçgendir” tanımını verdiğimizi… 180:3=60 işlemiyle, eşkenar üçgenin açıları 60’ar derecedir çıkarımına ulaşmak öğrenene bırakılmalıdır. Çıkarımları öğrenciye bırakmak öğrencide güven, yaratıcılık duygularını geliştirildiği gibi ifade gücünü de geliştirir.

5. Matematiksel modelleme öğrenmeyi güçlendirir.

Günlük yaşamdan, doğadan örnek verme öğrenmeyi güçlendirir. Bu sav, fizik, kimya, biyoloji, tarih, coğrafya… öğretirken gerekli ve hatta zorunludur. Örneğin fizikte hızı anlatırken, bir otomobilin, bir canlının hareketi bire bir örnektir. Algılanması kolaydır. Matematik öğretiminde ise örnek vermek zordur. Çoğunlukla da olanaksızdır. Bu nedenle genellikle modelleme kullanılır. Modellemede de iki ilke önemlidir. Birincisi modelin uygun seçilmesi, ikincisi modelin matematiksel kavrama dönüştürülmesi. Birinci ilkenin gerçekleşmesi matematik kültürüne ve gözlem gücüne bağlıdır. İkinci ilkenin gerçekleşmesi ise dil ve anlatıma. Gerek modelin uygun seçilmemesi, gerekse dil ve anlatımın yetersizliği anlama önünde aynı ölçüde engeldir. Ne yazık ki bu anlamda çok yanlışlar yapılmaktadır. Örneğin MEB onaylı geometri kitabında doğru parçasına örnek olarak (sözüm ona modelleyerek) Bolu Dağı Tüneli veriliyor. Düşünün koskoca tünel. İçinden 3-5 TIR birlikte geçebilir, taban alanı hatta hacmi vardır. Doğru parçası ise alanı, hacmi olmayan tek boyutlu bir kavramdır. Doğru parçası ile tünelin tek benzerliği iki ucunun sınırlı olmaları. Farklılıkları ise kat kat fazla. Koskoca Bolu Dağı Tüneli’nden doğru parçası çıkarmak! Şişeden cin çıkarmaktan daha zor. Model yanlışsa dil cambazı olsan da işe yaramaz. 

Yukarıdaki özellikler çoğaltılabilir. Ama çıkarsanacağı gibi her özellik iyi bir dil anlatımıyla birlikte anılmak zorundadır. Vurgulamak istediğimiz de bu. “Matematik zordur” yargısı yaygındır. Elbette öyledir. Matematik öğretiminde “matematiği kolaylaştırmak” gibi bir hedef gerçekçi değildir. Matematik kolaydır demek de anlamsız.  Doğru hedef “Matematiği anlaşılır kılmak” olabilir ancak. Bu da matematik bilmek yanında, iyi bir dil kullanımını, dilin yapısını bilmeyi ve dil kültürüne sahip olmayı zorunlu kılar. Öğretmen yetiştirmede bu zorunluluk yerine getiriliyor mu derseniz. Ne yazık ki yanıtım hayır! Öğretmen piyasa diline terk edilmiş durumda...